命題XXIX 問題XXI

畫出種類給定的一條軌道，它被四條位置給定的直線所截的部分的順序、種類和比例給定。

設要畫的一條軌道，它與曲線FGHI相似，且它的部分與那條曲線的部分FG，GH，HI相似并成比例，位于位置給定的直線AB和AD，AD和BD，BD和CE之間，第一部分位于第一組直線之間，第二部分位于第二組之間，第三部分位于第三組之間。作直線FG，GH，HI，FI，畫出（由引理XXVII）不規則四形fghi，它與不規則四邊形FGHI相似，且它的角f，g，h，i與那些位置給定的直線AB，AD，BD，CE接觸，每個角按所說的順序。然后圍繞這個不規則四邊形畫出與曲線FGHI相似的軌道。

解釋

這個問題亦可如下作出。連結FG，GH，HI，FI，延長GF至V，并連結FH，IG，且使角FGH，VFH等于角CAK，DAL。AK，AL與直線BD交于K和L，由此引KM，LN，由其中的KM作角AKM等于角GHI，且它比AK如同HI比GH；又由LN作角ALN等于角FHI，且它比AL如同HI比FH。向直線AD，AK，AL的那些方向引AK，KM，AL，LN，使字母CAKMC，ALKA，DALND與字母FGHIF轉回的順序相同；再作MN交直線CE于i。使角iEP等于角IGF，又設PE比Ei如同 FG比GI；再經P引PQf，它與直線ADE所含的角PQE等于角FIG，又交直線AB于f，再連結fi。在直線CE，PE的那些方向引PE和PQ，使字母PeiP和PEQP與字母FGHIF有相同的環形順序，且如果在直線fi上以相同的字母順序作與不規則四邊形FGHI相似的不規則四邊形fghi，又外接軌道的種類給定，問題得解。

第VI部分 論在給定的軌道上求運動

命題XXX 問題XXII

一個物體在一條給定的拋物線軌道上運動，在指定的時間求位置。

系理1 因此GH比AS，如同時間，在此期間物體畫出弧AP，比一段時間，在此期間物體畫出頂點A和在軸上由焦點S豎立的垂線之間的弧。

系理2 且如果圓ASP持續通過運動的物體P，點H的速度比物體在頂點A所具有的速度如同3比8；且因此直線GH比一條直線，物體以它在頂點A的速度由自己從A到P的運動時間能畫出它，也按照同樣的比。

系理3 因此，反過來，能求時間，在此期間物體畫出任意指定的弧AP。連結AP，并在它的中點豎立一條垂線，交直線GH于H。