命題XXIX 問(wèn)題XXI

畫出種類給定的一條軌道，它被四條位置給定的直線所截的部分的順序、種類和比例給定。

設(shè)要畫的一條軌道，它與曲線FGHI相似，且它的部分與那條曲線的部分FG，GH，HI相似并成比例，位于位置給定的直線AB和AD，AD和BD，BD和CE之間，第一部分位于第一組直線之間，第二部分位于第二組之間，第三部分位于第三組之間。作直線FG，GH，HI，F(xiàn)I，畫出（由引理XXVII）不規(guī)則四形fghi，它與不規(guī)則四邊形FGHI相似，且它的角f，g，h，i與那些位置給定的直線AB，AD，BD，CE接觸，每個(gè)角按所說(shuō)的順序。然后圍繞這個(gè)不規(guī)則四邊形畫出與曲線FGHI相似的軌道。

解釋

這個(gè)問(wèn)題亦可如下作出。連結(jié)FG，GH，HI，F(xiàn)I，延長(zhǎng)GF至V，并連結(jié)FH，IG，且使角FGH，VFH等于角CAK，DAL。AK，AL與直線BD交于K和L，由此引KM，LN，由其中的KM作角AKM等于角GHI，且它比AK如同HI比GH；又由LN作角ALN等于角FHI，且它比AL如同HI比FH。向直線AD，AK，AL的那些方向引AK，KM，AL，LN，使字母CAKMC，ALKA，DALND與字母FGHIF轉(zhuǎn)回的順序相同；再作MN交直線CE于i。使角iEP等于角IGF，又設(shè)PE比Ei如同 FG比GI；再經(jīng)P引PQf，它與直線ADE所含的角PQE等于角FIG，又交直線AB于f，再連結(jié)fi。在直線CE，PE的那些方向引PE和PQ，使字母PeiP和PEQP與字母FGHIF有相同的環(huán)形順序，且如果在直線fi上以相同的字母順序作與不規(guī)則四邊形FGHI相似的不規(guī)則四邊形fghi，又外接軌道的種類給定，問(wèn)題得解。

第VI部分 論在給定的軌道上求運(yùn)動(dòng)

命題XXX 問(wèn)題XXII

一個(gè)物體在一條給定的拋物線軌道上運(yùn)動(dòng)，在指定的時(shí)間求位置。

系理1 因此GH比AS，如同時(shí)間，在此期間物體畫出弧AP，比一段時(shí)間，在此期間物體畫出頂點(diǎn)A和在軸上由焦點(diǎn)S豎立的垂線之間的弧。

系理2 且如果圓ASP持續(xù)通過(guò)運(yùn)動(dòng)的物體P，點(diǎn)H的速度比物體在頂點(diǎn)A所具有的速度如同3比8；且因此直線GH比一條直線，物體以它在頂點(diǎn)A的速度由自己從A到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間能畫出它，也按照同樣的比。

系理3 因此，反過(guò)來(lái)，能求時(shí)間，在此期間物體畫出任意指定的弧AP。連結(jié)AP，并在它的中點(diǎn)豎立一條垂線，交直線GH于H。