命題XXI 問題XIII

對(duì)于給定的一個(gè)焦點(diǎn)畫一條軌道，它通過給定的點(diǎn)并與位置給定的直線相切。

設(shè)焦點(diǎn)S，點(diǎn)P和切線TR被給定，需求另一焦點(diǎn)H。往切線上落下垂線ST，并延長(zhǎng)它至Y，使得TY等于ST，則YH等于主軸。連結(jié)SP，HP，且SP是HP和主軸之間的差。按照這種方式，如果給定更多的切線TR，或更多的點(diǎn)P，總能找到由所說的點(diǎn)Y或P到焦點(diǎn)所引的同樣數(shù)目的線YH或PH，它們或者等于軸，或者它們以給定的長(zhǎng)度SP不同于軸；于是它們或者相等，或者有給定的差，且由此，由上面的引理，另外一個(gè)焦點(diǎn)H被給定。同時(shí)擁有了兩個(gè)焦點(diǎn)和軸的長(zhǎng)度（它或者為YH，或者，如果軌道為橢圓，為PH+SP；若不然，軌道為雙曲線，為PH－SP）也就有了軌道。此即所求。

解釋

當(dāng)軌道為雙曲線時(shí)，在這個(gè)軌道的名下我沒有包括相對(duì)的雙曲線［分支］。因?yàn)槲矬w在自己的持續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)不可能遷移到相對(duì)的雙曲線［分支］上。

拉伊爾，在他的《圓錐截線》卷VIII，命題XXV中給出此問題的解法，方法上與此沒有大的差異。

第V部分 論當(dāng)焦點(diǎn)未被給定時(shí)求軌道

引理 XVII

如果由給定的圓錐截線上的任意點(diǎn)P，以給定的角向內(nèi)接于那條圓錐截線的任意不規(guī)則四邊形ABCD的無限延長(zhǎng)的四邊AB，CD，AC和DB引相同數(shù)目的直線PQ，PR，PS和PT，一條直線對(duì)一邊：則向兩對(duì)邊所引［的直線］的矩形PQ×PR，比向另兩對(duì)邊所引［的直線］的矩形PS×PT按照給定的比。

情形1 首先我們假設(shè)向?qū)吽木€與其余邊中的某一邊平行，設(shè)為PQ和PR平行于邊AC，且PS和PT平行于邊AB。再設(shè)上面對(duì)邊中的兩邊，設(shè)為AC和BD，彼此平行。則直線，它平分那些平行的邊，是圓錐截線的一條直徑，它也平分RQ。設(shè)O為一點(diǎn)，在此處RQ被平分，PO是屬于那條直徑的縱標(biāo)線。延長(zhǎng)PO至K，使得OK等于PO，則OK是屬于那條直徑異側(cè)的縱標(biāo)線。由于點(diǎn)A，B，P和K在圓錐截線上，且PK以給定的角截AB，所以（由阿波羅尼奧斯的《圓錐截線》卷III，命題17，19，21和23）矩形PQK比AQB按照給定的比。但QK和PR相等，由于相等的線OK，OP以及OQ，OR的差相等，由此矩形PQK和PQ×PR也相等；所以矩形PQ×PR比矩形AQB，這就是比矩形PS×PT按照給定的比。此即所證。

情形2 現(xiàn)在我們假設(shè)不規(guī)則四邊形的對(duì)邊AC和BD不平行。作Bd平行于AC，既交直線ST于t，又交圓錐截線于d。連結(jié)Cd截PQ于r，并作DM平行于PQ，截Cd于M且截AB于N。現(xiàn)在，由于三角形BTt，DBN相似，Bt或者PQ比Tt如同DN比NB。這樣Rr比AQ或者PS如同DM比AN。所以，前項(xiàng)乘以前項(xiàng)且后項(xiàng)乘以后項(xiàng)，矩形PQ乘以Rr比矩形PS乘以Tt，如同矩形NDM比矩形ANB，且（由情形1）如同矩形PQ乘以Pr比矩形PS乘以Pt，又由分比，如同矩形PQ×PR比矩形PS×PT。此即所證。

情形3 最后我們假設(shè)四條直線PQ，PR，PS，PT不與邊AC，AB平行，而對(duì)它們有任意的傾角。代替它們，引Pq，Pr平行于AC；且Ps，Pt平行于AB；因?yàn)槿切蜳Qq，PRr，PSs，PTt的角給定，PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，和PT比Pt為給定的比；因此復(fù)合比PQ×PR比Pq×Pr，PS×PT比Ps×Pt ［為給定的比］。但是，由前面的證明，Pq×Pr比Ps×Pt為給定的比；所以比PQ×PR比PS×PT ［為給定的比］。此即所證。