命題XXI 問題XIII

對于給定的一個焦點畫一條軌道，它通過給定的點并與位置給定的直線相切。

設焦點S，點P和切線TR被給定，需求另一焦點H。往切線上落下垂線ST，并延長它至Y，使得TY等于ST，則YH等于主軸。連結SP，HP，且SP是HP和主軸之間的差。按照這種方式，如果給定更多的切線TR，或更多的點P，總能找到由所說的點Y或P到焦點所引的同樣數目的線YH或PH，它們或者等于軸，或者它們以給定的長度SP不同于軸；于是它們或者相等，或者有給定的差，且由此，由上面的引理，另外一個焦點H被給定。同時擁有了兩個焦點和軸的長度（它或者為YH，或者，如果軌道為橢圓，為PH+SP；若不然，軌道為雙曲線，為PH－SP）也就有了軌道。此即所求。

解釋

當軌道為雙曲線時，在這個軌道的名下我沒有包括相對的雙曲線［分支］。因為物體在自己的持續運動時不可能遷移到相對的雙曲線［分支］上。

拉伊爾，在他的《圓錐截線》卷VIII，命題XXV中給出此問題的解法，方法上與此沒有大的差異。

第V部分 論當焦點未被給定時求軌道

引理 XVII

如果由給定的圓錐截線上的任意點P，以給定的角向內接于那條圓錐截線的任意不規則四邊形ABCD的無限延長的四邊AB，CD，AC和DB引相同數目的直線PQ，PR，PS和PT，一條直線對一邊：則向兩對邊所引［的直線］的矩形PQ×PR，比向另兩對邊所引［的直線］的矩形PS×PT按照給定的比。

情形1 首先我們假設向對邊所引的線與其余邊中的某一邊平行，設為PQ和PR平行于邊AC，且PS和PT平行于邊AB。再設上面對邊中的兩邊，設為AC和BD，彼此平行。則直線，它平分那些平行的邊，是圓錐截線的一條直徑，它也平分RQ。設O為一點，在此處RQ被平分，PO是屬于那條直徑的縱標線。延長PO至K，使得OK等于PO，則OK是屬于那條直徑異側的縱標線。由于點A，B，P和K在圓錐截線上，且PK以給定的角截AB，所以（由阿波羅尼奧斯的《圓錐截線》卷III，命題17，19，21和23）矩形PQK比AQB按照給定的比。但QK和PR相等，由于相等的線OK，OP以及OQ，OR的差相等，由此矩形PQK和PQ×PR也相等；所以矩形PQ×PR比矩形AQB，這就是比矩形PS×PT按照給定的比。此即所證。

情形2 現在我們假設不規則四邊形的對邊AC和BD不平行。作Bd平行于AC，既交直線ST于t，又交圓錐截線于d。連結Cd截PQ于r，并作DM平行于PQ，截Cd于M且截AB于N。現在，由于三角形BTt，DBN相似，Bt或者PQ比Tt如同DN比NB。這樣Rr比AQ或者PS如同DM比AN。所以，前項乘以前項且后項乘以后項，矩形PQ乘以Rr比矩形PS乘以Tt，如同矩形NDM比矩形ANB，且（由情形1）如同矩形PQ乘以Pr比矩形PS乘以Pt，又由分比，如同矩形PQ×PR比矩形PS×PT。此即所證。

情形3 最后我們假設四條直線PQ，PR，PS，PT不與邊AC，AB平行，而對它們有任意的傾角。代替它們，引Pq，Pr平行于AC；且Ps，Pt平行于AB；因為三角形PQq，PRr，PSs，PTt的角給定，PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，和PT比Pt為給定的比；因此復合比PQ×PR比Pq×Pr，PS×PT比Ps×Pt ［為給定的比］。但是，由前面的證明，Pq×Pr比Ps×Pt為給定的比；所以比PQ×PR比PS×PT ［為給定的比］。此即所證。