情形1 令那些給定的點(diǎn)為A，B，C，且第四點(diǎn)為Z，它是應(yīng)當(dāng)求的；因?yàn)橹本€AZ，BZ的差給定，點(diǎn)Z位于一雙曲線上，其焦點(diǎn)為A和B，且其主軸是那個(gè)給定的差。設(shè)那個(gè)軸為MN。取PM比MA如同MN比AB，并豎立PR垂直于AB，又落下ZR垂直于PR；由這條雙曲線的性質(zhì)，ZR比AZ如同MN比AB。由類(lèi)似的討論，點(diǎn)Z位于另一雙曲線上，其焦點(diǎn)為A，C，且其主軸為AZ和CZ之間的差，可以引QS，它自身與AC垂直，如果由這條雙曲線上的任意點(diǎn)Z往QS上落下成直角的線ZS，這一垂線ZS比AZ如同AZ和CZ之間的差比AC。所以ZR和ZS比AZ的比被給定，并且由此ZR和ZS的相互之比被給定；且因此，如果直線RP，SQ交于T，再引TZ和TA，則圖形TRZS的種類(lèi)被給定，又直線TZ的位置被給定，點(diǎn)Z位于其上某處。直線TA，以及角ATZ亦被給定；又因?yàn)锳Z和TZ比ZS的比被給定，它們的相互之比亦被給定；因此三角形ATZ被給定，它的一個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)Z。此即所求。

情形2 如果三條線中的兩條，設(shè)為AZ和BZ，是相等的，因此引直線TZ，使得它平分直線AB；此后如上尋求三角形ATZ。此即所求。

情形3 如果所有三條線相等，點(diǎn)Z位于過(guò)點(diǎn)A，B，C的圓的中心。此即所求。

這個(gè)引理中的問(wèn)題亦在由維埃特編訂的阿波羅尼奧斯的書(shū)《論切觸》中被解決。