命題VI 定理V

如果一個物體在一無阻力的空間圍繞一個不動的中心在任意的軌道上運行，并在極短的時間畫出任意一條剛要消失的弧，并且如果所引的弧的矢被理解為它平分弦且延長時穿過力的中心：在弧中間的向心力與矢成正比且與二次時間成反比。

因為在一給定時間的矢如同力（由命題I系理4），且按任意的比增大時間，由于弧按同樣的比增大，矢按照那個比的二次方被增大（由引理XI系理2和系理3），因此如同一次力和二次時間。從兩邊除去時間的二次比，力變?yōu)槿缤傅恼群投螘r間的反比，此即所證。

此命題易于由引理X的系理4證明。

系理1 如果物體P圍繞中心S運行畫出曲線APQ；直線ZPR切那條曲線于任意點P，從曲線上另一任意點Q引QR平行于距離SP，并向那個距離SP落下垂線QT：向心力與立體 系理2 由同樣的論證，向心力與立體 系理3 如果軌道或者為圓形，或者與一圓同心相切，或者同心相截，亦即，［軌道］與圓所含的切角或者交角為最小，在點P有同樣的曲率及同樣的曲率半徑；且如果PV為由物體過力的中心所作成的這個圓的弦：向心力與立體SY_q×PV成反比。因為PV即是 系理4 對同樣的題設(shè)，向心力與二次速度成正比，且與那條弦成反比。因為由命題I系理1，速度與垂線SY成反比。

系理5 因此，如果任意曲線圖形APQ被給定，且在其上也給

定一點S，向心力持續(xù)指向它，能發(fā)現(xiàn)向心力的定律，由它任意物體P不斷地被拉離直線路徑，并被保持在那個圖形的周線上，且在運行時也畫出它［作為軌道］。于是需計算與這個力成反比的立體