引理 XXII
把圖形變為同一種類的其他圖形。
設要變換的是任意圖形HGI。隨意引兩條平行線AO，BL，截第三條位置給定的任意直線AB于A和B，且由圖形的任意一點G，往直線AB引任意的GD，它與OA平行。然后由另一點O，它在直線OA上被給定，往點D引直線OD，它交直線BL于d，并由交點以與直線BL包含任意給定的角豎立直線dg，且它具有與Od之比如同DG比OD具有之比；則點g為點G在新圖形hgi中對應的點。由同樣的方式，原圖形中的每個點給出新圖形中同樣數目的點。所以，設想點G持續運動走遍原圖形中的所有點，則點g以類似的持續運動走遍新圖形中的所有點并畫出同一圖形。為了便于區分，我們稱DG為原縱標線，dg為新縱標線；AD為原橫標線，ad為新橫標線；O為極，OD為交截半徑，OA為原縱半徑，且Oa（由被補足的平行四邊形OABa）為新縱半徑。