命題XXII 問(wèn)題XIV
經(jīng)過(guò)五個(gè)給定的點(diǎn)畫(huà)出一條軌道。
設(shè)五個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，D被給定。由它們中的某一點(diǎn)A往另外兩個(gè)任意點(diǎn)B，C，它們被稱為極，作直線AB，AC，又過(guò)第四點(diǎn)P引與這些直線平行的線TPS，PRQ。然后由兩極B，C引過(guò)第五點(diǎn)D的兩條無(wú)窮直線BDT，CRD，與最新引的TPS，PRQ（前者交前者且后者交后者）交于T和R。最后，對(duì)于直線PT，PR，作直線tr平行于TR，所截下的任意的Pt，Pr與PT，PR成比例；且如果過(guò)它們的端點(diǎn)t，r和極B，C作［直線］Bt，Cr交于d，那個(gè)點(diǎn)d位于所求的軌道上。因?yàn)槟莻€(gè)點(diǎn)d（由引理XX）位于經(jīng)過(guò)四點(diǎn)A，B，C，P的圓錐截線上；且直線Rr，Tt消失時(shí)，點(diǎn)d與點(diǎn)D重合。所以圓錐截線穿過(guò)五個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，D。此即所證。
在給定的點(diǎn)中連結(jié)任意的三點(diǎn)A，B，C；且圍繞它們中作為極的兩點(diǎn)B，C，轉(zhuǎn)動(dòng)大小給定的角ABC，ACB，先應(yīng)用股BC，CA于點(diǎn)D，然后用于點(diǎn)P，并標(biāo)記點(diǎn)M，N，另兩股BL，CL在每一情形在那里交叉。引無(wú)窮直線MN，并圍繞它們的極B，C轉(zhuǎn)動(dòng)那些動(dòng)角，使得股BL，CL或者BM，CM的交叉，它現(xiàn)在是m，總落在那條無(wú)窮直線MN上；且股BA，CA，或者BD，CD的交叉，它現(xiàn)在是d，畫(huà)出所求的軌道PADdB。因?yàn)辄c(diǎn)d（由引理XXI）位于過(guò)點(diǎn)B，C的圓錐截線上；且當(dāng)點(diǎn)m靠近點(diǎn)L，M，N時(shí)，點(diǎn)d（由作法）靠近點(diǎn)ADP。因此經(jīng)過(guò)五個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，D的圓錐截線被畫(huà)出。此即所作。
系理1 因此，能便捷地引一直線，它與所得到的軌道在任何給定的點(diǎn)B相切。點(diǎn)d前進(jìn)到點(diǎn)B，直線Bd將成為所求的切線。
連結(jié)BP使前一作法變得更為簡(jiǎn)單，且那條直線，如果需要，則延長(zhǎng)之，在其上取Bp比BP如同PR比PT；又過(guò)p引無(wú)窮直線pe與SPT平行，并在pe之上總?cè)e等于Pr；再引直線Be，Cr交于d。因?yàn)椋捎赑r比Pt，PR比PT，pB比PB，pe比Pt按照相同的比；pe和Pr總相等。由這個(gè)方法發(fā)現(xiàn)軌道的點(diǎn)最為便捷，除非你愿意用機(jī)械的方法畫(huà)出曲線，如按照第二種作法。