情形1 連結BP，CP并由點D引兩直線DG，DE，它們中的前者DG平行于AB且交PB，PQ，CA于H，I，G；另外一條直線DE平行于AC且交PC，PS，AB于F，K，E：則（由引理XVII）矩形DE×DF比矩形DG×DH按照給定的比。但是PQ比DE（或者IQ）如同PB比HB，且由此如同PT比DH；并由更比，PQ比PT如同DE比DH。又PR比DF如同RC比DC，且因此如同（IG或者）PS比DG，再由更比，PR比PS如同DF比DG；由比的結合，矩形PQ×PR比矩形PS×PT如同矩形DE×DF比矩形DG×DH，因此按照給定的比。但是PQ和PS被給定，所以PR比PT之比被給定。此即所證。

情形2 但是，如果PR和PT彼此之比被假定為按照給定的比，由類似的理由回推，得到矩形DE×DF比矩形DG×DH按照給定的比，且因此點D（由引理XVIII）位于經過點A，B，C，P的圓錐截線上。此即所證。

系理1 因此，如果引BC截PQ于r，且在PT上，按照Pt比Pr之比與PT比PR所具有的比相同，取Pt：則Bt是圓錐截線在點B的切線。因為當點D與點B會合時，使得弦BD消失，BT成為切線；且CD和BT與CB和Bt重合。

系理2 且反之亦然，如果Bt為切線，且BD，CD相遇于圓錐截線上任意的點D；PR比PT如同Pr比Pt。反之，如果PR比PT如同Pr比Pt：BD，CD相遇于圓錐截線上的某點D。

系理3 一條圓錐截線不能與另一條圓錐截線在多于四個點相截。因為，如果這是可能的，兩條圓錐截線通過五點A，B，C，P，O；直線BD截它們于D和d，且PQ截直線Cd于q。所以PR比PT如同Pq比PT；因此PR和Pq彼此相等，這與假設相悖。