引理 XI
在切點具有有限曲率的所有曲線中，切角消失時的對邊，最終按照弧毗連的對邊的二次比。
情形1 設AB為那條弧，其切線為AD，切角的對邊BD垂直于切線，弧的對邊為AB。豎立垂直于這個對邊AB和切線AD的直線AG，BG，它們交于G；然后點D，B，G靠近點d，b，g，再設J為當點D，B最終到達A時直線BG，AG的交點。顯然距離GJ能小于任意指派的距離。又（由穿過點ABG，Abg的圓的性質）ABquad.等于AG×BD，且Abquad.等于Ag×bd；由此ABquad.比Abquad.之比由來自AG比Ag與比BD比bd的比復合而成。但因GJ能取得小于任意指派的長度，使得AG比Ag之比能成為與等量之比的差異小于任意給定的差的比，因此，ABquad.比Abquad.之比與BD比bd之比的差異小于任意給定的差。所以，由引理I，ABquad.比Abquad.的最終比與BD比bd的最終比相同。此即所證。
情形2 現在BD以任意給定的角向AD傾斜，則BD比bd的最終比總與前者相同，且因此與ABquad.比Abquad.相同。此即所證。
情形3 任意角D沒有被給定，但直線BD往給定的一個點匯聚，或按任意其他的規則確定；畢竟角D，d按相同的規則確定，總傾向于相等且比任意給定的差更加靠近，由此由引理I它們最終相等，所以直線BD，bd的彼此之比與前面一樣。此即所證。
系理1 由于切線AD，Ad，弧AB，Ab以及它們的正弦BC，bc最終等于弦AB，Ab；同樣它們的平方最終如同［切角的］對邊BD，bd。
系理2 它們的平方最終也如同弧的矢（arcus sagitta），它們平分弦并匯聚于一給定的點。因為那些矢如同［切角的］對邊BD，bd。
系理3 且因此，矢按照時間的二次比，在此期間物體以一個給定的速度畫出弧。
系理4 直線三角形ADB，Adb最終按照邊AD，Ad的三次比，且按照邊DB，db的二分之三次比；由于［這些三角形］按照邊AD和DB，Ad和db的復合比。所以三角形ABC和Abc最終按照邊BC，bc的三次比。我說的二分之三次比是三次比的平方根，即是來自簡單比和［它的］二分之一次比的復合。
系理5 因為DB，db最終平行并按照AD，Ad的二次比：最終曲線形ADB，Adb的面積（由拋物線的性質）是直線三角形ADB，ADb面積的三分之二；且弓形AB，Ab是同樣的三角形的三分之一。并且這些［曲邊形的］面積及這些弓形既按照切線AD，Ad的三次比；又按照弦和弧AB，Ab的三次比。
然而，我們一直假設切角既不無限地大于也不無限地小于包含于圓和它們的切線的切角；這就是，在點A的曲率既不是無窮小又不是無窮大，或者間隔AJ的長短是有限的。因DB可取為如同AD3：在此情形過點A不能畫出在切線AD和曲線AB之間的圓，因此切角無限地小于圓的切角。由類似的論證，如果DB相繼取得如同AD4，AD5，AD6，AD7，等等，得到一個無窮延續的切角序列，其中任意后面的切角無限地小于前面的切角，且如果DB相繼取得如同AD2， 幾何原本》第十卷論不可通約量中證明的真理相反。但這種反對依賴一個錯誤的假設。那些最終比，隨著它們量的消失，實際上不是最終量的比，而是無限減小的量的比持續靠近的極限，它們能比任意給定的差更加接近，但在量被減小以至無窮之前它們既不能超過，也不能達到［此極限］。這種事件用無窮大能被更清楚地理解。如果兩個量，它們的差給定并被增加以至無窮，它們的最終比被給定，即為等量之比，但給出此比的最終的量或最大的量并沒有被給定。為了使后面的內容易于理解，我所說的極小的量或正消失的量或最終的量，提防被理解為大小確定的量，而總要意識到無限減小的量。
第II部分 論求向心力
命題I 定理I
面積，它由在軌道上運動的物體往不動的力的中心所引的半徑畫出，停留在不動的平面上，且與時間成比例。
此即所證。
系理1 在沒有阻力的空間，被一個不動中心吸引的物體的速度與從那個中心到軌道的切線所落下的垂線成反比。因為在那些位置A，B，C，D，E的速度如同相等的三角形的底AB，BC，CD，DE，EF；且這些底與落在它們之上的垂線成反比。
系理2 如果AB和BC是由同一個物體在無阻力的空間中在相等的時間所畫出的兩段相繼的弧的弦，補足平行四邊形ABCV，則這條對角線BV當那些弧減小以至無窮時所處的位置，沿兩個方向延伸，通過力的中心。
系理3 如果弦AB，BC和DE，EF是［物體在］無阻力的空間中在相等的時間所畫出的弧的弦，并補足平行四邊形ABCV和DEFZ；在B和E的力彼此之比，當那些弧減小以至無窮時，按照對角線BV和EZ的最終比。因為物體的運動BC和EF（由諸定律的系理I）由運動Bc，BV和Ef，EZ合成，然而BV和EZ［分別與］Cc和Ff相等。在此命題的證明中它們由向心力在B和E的沖擊產生，且因此與這些沖擊成比例。
系理4 任意物體在沒有阻力的空間中被拉離直線運動并被彎折到曲線軌道的諸力的相互之比，如同在相等的時間內所畫出的弧的矢的比。當那些弧減小以至無窮時，弧的矢匯聚于力的中心，并平分弦。由于這些矢是我們在系理三中所提到的對角線的一半。
系理5 所以這些力比重力，如同這些矢比那些垂直于地平線的拋物線的弧的矢，它們［拋物線］由拋射體在相同的時間畫出。
系理6 由諸定律的系理V，當平面，物體在其上運動，連同力的中心，它們位于這些平面上，不是靜止的而是均勻地一直運動，所有結論同樣成立。