命題XXXI 問題XXIII
一個物體在一條給定的橢圓軌道上運動，對指定的時間求位置。
設(shè)橢圓APB的主頂點為A，焦點為S，且O為中心，又設(shè)P為要發(fā)現(xiàn)的物體的位置。延長OA至G，使得OG比OA如同OA比OS。豎立垂線GH，且以中心O和間隔OG畫一圓GEF，它在作為底的尺子GH上方，輪子GEF圍繞自身的軸滾動前進，且在此期間它的點A畫出次擺線ALI。既成之后，取GK，按照它比輪子的周長GEFG，如同一段時間，在此期間自A前進的物體畫出弧AP，比物體在橢圓上運行一周的時間之比。豎立垂線KL交次擺線于L，又引LP平行于KG交橢圓于需求的物體的位置P。
此即所證。
假設(shè)向心力與位置離中心的距離的平方成反比，確定空間，它由直線下落的一個物體在給定的時間畫出。 情形1 如果物體不豎直下落，此物體（由命題XIII系理1）畫出其焦點與力的中心重合的圓錐截線。設(shè)那條圓錐截線為ARPB，其焦點為S。首先，如果圖形為一個橢圓；在它的長軸AB上畫半圓ADB，又直線DPC經(jīng)過下落物體垂直于軸；再作DS，PS，面積ASD與面積ASP成比例，且因此亦與時間成比例。保持軸AB持續(xù)減小橢圓的寬度，則面積ASD總保持與時間成比例。那個寬度被減小以至無窮：現(xiàn)在軌道APB與軸AB，且焦點S與軸的端點B重合，物體在直線AC上下落，面積ABD變得與時間成比例。且因此空間AC被給定，物體由位置A豎直下落，在給定的時間畫出這一空間，只要面積ABD取得與時間成比例，且由點D往直線AB上落下垂線DC。此即所求。第VII部分 論物體的直線上升和下降
命題XXXII 問題XXIV
情形2 如果那個圖形RPB為雙曲線，對同樣的主直徑AB畫直角雙曲線（hyperbola rectangula）BED；且因為面積CSP，CBfP，SPfB比面積CSD，CBED，SDEB，一個對一個，按照高度CP，CD的給定的比；又面積SPfB與時間成比例，在此期間物體P的運動經(jīng)過弧PfB；面積SDEB亦與同樣的時間成比例。減小雙曲線RPB的通徑以至無窮并保持橫截徑，則弧PB與直線CB，且焦點S與頂點B，以及直線SD與直線BD重合。因此，面積BDEB與時間成比例，在此期間物體C豎直下落畫出直線CB。此即所求。
情形3 由類似的論證，如果圖形RPB為一條拋物線，且由同樣的主頂點B畫出另一條拋物線BED，它在前一拋物線，即物體P在其周線上運動的拋物線的通徑減小并縮為零，曲線變?yōu)橹本€CB期間，總它保持給定；拋物弓形BDEB與時間成比例，在此期間那個物體P或者C落向中心S或者B。此即所求。