引理 XXVIII

不存在卵形，它的被任意直線割下的面積能一般地由項數和維數（dimensio）有限的方程加以確定。

設在卵形內任意給定一點，圍繞此作為極的點一條直線以均勻的運動持續旋轉，且在此期間，在那條直線上一個動點離開極，它總以一個速度前進，速度如同那條直線在卵形內 ［的長度］的平方。那個點的這一運動畫出旋轉數無窮的螺線。現在，如果卵形由那條直線割下的部分能由有限方程找到，由同樣的方程點到極的距離亦被找到，距離與這個面積成比例，且因此螺線的所有點能由有限方程找到：所以任意位置給定的直線與螺線的交點亦能由有限方程找到。但任一無窮延長的直線截螺線于數目無窮的點，且方程，由它兩［曲］線的某個相交部分被發現，其同樣數目的所有根顯示了所有的相交部分，因此升至與交點一樣多的維數。因為兩個圓相互截于兩點，除非用一個二維的方程不能找到一個交點，通過它另一相交部分亦被找到。因為兩個圓錐截線可能有四個相交部分，一般地不可能找不到其中一個相交部分，除非通過四維的一個方程，由它所有的相交部分一起被找到。因為如果那些相交部分分別地被找到，因為所有的定律和條件是相同的，計算在每一種情形是相同的，且所以結論總是相同的，因此它必須同時包括且無差別地顯示所有的相交部分。由是圓錐截線和三次曲線的相交部分，它可能有六個相交部分，由一個六維方程同時得出，且兩條三次曲線的相交部分，它能可有九個相交部分，由一個九維方程同時得出。如果這不必然發生，則我們可以把所有的立體問題約化為平面問題，以及高于立體的問題約化為立體問題。但這里我所說的曲線是在次數上是不可約的。因為，如果方程，由它曲線被定義，能約化成一個較低的次數，則曲線不是單一的，而是由兩條，或者更多條曲線的復合，它的相交部分能由不同的計算分別找到。按照同樣的方式，直線與圓錐截線的兩個相交部分總由一個二維的方程得出，直線與此不可約的三次曲線的三個相交部分由一個三維的方程得出，直線與不可約的四次曲線的四個相交部分由一個四維的方程得出，且如此以至無窮。所以直線和螺線有無數相交部分，由于這條曲線是單純的且不能約化為多條曲線，這要求方程的維的數目和根的數目無窮，由它所有的交點能同時被顯示。因為它們所有的定律和計算是相同的。因為如果自極向那條交線落下一條垂線，且那條垂線與交線同時圍繞極旋轉，螺線的相交部分相互變換，第一個或者最近的交點，經過一周旋轉后成為第二個，經過兩周旋轉后成為第三個，且如此下去；在此期間方程沒有被變化，但那些量的大小的變化除外，由它們交線的位置被確定。所以，由于那些量在每一次旋轉后返回到它們的初始的大小，方程返回到初始的形式，且因此一個且同一個方程顯示所有的相交部分，且所以它有數目無窮的根，且由方程它們能都被顯示。所以，一般地，直線和螺線的相交部分不能通過有限的方程求出，且因此不存在卵形，它被任意的直線割下的面積一般地能由這樣的方程顯示。

由同樣的論證，如果極和點的間隔，螺旋線由點畫出，被取作與割下的卵形的周線成比例，能證明周線的長度一般地不能通過一個有限的方程顯示。但這里所論及的卵形不是被延伸至無窮的共軛圖形相切的圖形。

系理

因此，橢圓的面積，它由從焦點向運動的物體所引的半徑畫出，不能由所給定的時間通過有限的方程得出；且因此，也不能由畫出幾何上有理的曲線確定。我所說的幾何上有理的曲線是所有這樣的曲線，它們的所有點由長度的方程定義，亦即，能通過復雜的長度之比確定；且其余的曲線（如螺線，割圓曲線，次擺線）我稱之為幾何上無理的。由于長度如同或者不如同整數之比（按照《幾何原本》的第十卷）是算術上有理的或者無理的。所以我通過一條幾何上無理的曲線割下與時間成比例的橢圓的面積如下。