命題XXVII 問題XIX
畫出一條軌道，它與五條位置給定的直線相切。
設ABG，BCF，GCD，FDE，EA為五條位置被給定的切線。由任意四條切線所含的四邊形ABFE的對角線AF，BE平分于M和N，則（由引理XXV系理3）經過平分點所作的直線MN經過軌道的中心。再者，其他任意四條切線所含的四邊形BGDF的對角線（據我如此說）BD，GF平分于P和Q：則過平分點所引的直線PQ經過軌道的中心。所以中心在平分線的交點被給定。設那個點為O。平行于任意切線BC在這樣的距離引［直線］KL，使得O位于平行線的中間，則所作的KL與要畫的軌道相切。這條切線截其他任意兩［切線］GCD，FDE于L和K。過這些不平行的切線CL，FK與平行的切線CF，KL的交點C和K，F和L引CK，FL交于R，并引直線OR，再延長它與平行的切線CF，KL在切點處相截。這由引理XXIV的系理2是顯然的。由同樣的方法容易找到其他切點，且在此時由問題XIV的作法畫出軌道。此即所作。
無論軌道的中心或者其漸近線已給定的問題，已包括在以上的命題中。因為與中心一同給定的點和切線，其他同樣數目的點及同樣數目的切線在離開中心等距的另一側被給定。但是漸近線被視為切線，且其無窮遠距離的終點（如果可以這樣說的話）為切點。想象任意切線的切點遠去至無窮，則切線轉變為漸近線，由此以上問題的作圖法轉變為當漸近線給定時問題的作圖法。畫出軌道之后，由這里的方法容易找到其軸和焦點。在引理XXI的作圖和圖形中，使動角PBN，PCN的股BP，CP，它們的交點畫出軌道，彼此平行，并在那個圖形中圍繞它們的極B和C轉動而保持［平行的］位置。其間那些角的其他的股CN，BN的交點K或者k，畫出圓BGKC。設這個圓的中心為O。由這個中心往尺子MN，在畫出軌道期間，它由那些其他的股CN，BN所交出，落下垂線OH交圓于K和L。且當其他的股CK，BK交于那個點K時，它距尺子較近，初始的股CP，BP平行于長軸，并且垂直于短軸；且如果同樣的股交于較遠的點L時，得到相反的結果。因此，如果軌道的中心被給定，其軸將被給定。這些被給定之后，立得焦點。