引理 XVIII
對同樣的假設(shè)，如果向不規(guī)則四邊形兩對邊所引［的直線］的矩形PQ×PR比向另兩對邊所引［的直線］的矩形PS×PT按照給定的比；點(diǎn)P，直線從它而引，位于圍繞不規(guī)則四邊形所畫出的圓錐截線上。
系理 因此，如果三條直線PQ，PR，PS由一個(gè)公共的點(diǎn)P以給定的角引向相同數(shù)目的位置給定的直線AB，CD，AC，一條直線對一條直線，且如果所引的兩條直線之下的矩形PQ×PR比第三條直線PS的正方形（quadratum）按照給定的比：點(diǎn)P，直線從它而引，位于一條圓錐截線上，它與直線AB，CD在A和C相切；且反之亦然。因?yàn)橹本€BD與直線AC重合時(shí)，三條直線AB，CD，AC保持位置；然后直線PT與直線PS也重合：矩形PS×PT變成PSquad.；又，直線AB，CD，它們先前與曲線截于A和B，C和D，現(xiàn)在由于那些點(diǎn)重合曲線不能再與它們相截，而只是相切。
在這一引理中，圓錐截線的名稱在更廣的意義上被使用，在此情況下不但包括經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的直線形截線，而且包括平行于底的圓形截線。因?yàn)椋绻c(diǎn)p落在一條直線上，由它點(diǎn)A和D或者C和B被連結(jié)，圓錐截線變?yōu)橐粚χ本€，其中之一是那條直線，點(diǎn)p落在其上，另一是一條直線，四點(diǎn)中另外兩點(diǎn)被它連結(jié)。如果不規(guī)則四邊形的兩對角合在一起等于兩個(gè)直角，且引向其邊的四條直線PQ，PR，PS，PT或者與邊垂直，或者與邊成任意相等的角，且所引的兩直線［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR等于所引的另兩直線［PS，PT］之下的矩形PS×PT，圓錐截線變成圓。同樣的事情會(huì)發(fā)生，如果以任意角引四條直線，且所引的兩直線［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比另兩直線［PS，PT］之下的矩形PS×PT，如同引后面的兩直線PS，PT的角S，T的正弦之下的矩形，比引前面的兩直線PQ，PR的角Q，R的正弦之下的矩形。在其余的情形點(diǎn)P的軌跡是其他三種圖形，它們通常被稱為圓錐截線。但可用其兩對邊如對角線那樣相互交叉的四邊形代替不規(guī)則四邊形ABCD。然而四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D中的一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)可跑到無窮遠(yuǎn)處，圖形的匯聚到這些點(diǎn)的邊變?yōu)槠叫校涸谶@種情形圓錐截線經(jīng)過其他的點(diǎn)，并如平行線那樣遠(yuǎn)離以至無窮。