命題XVII 問題IX
假設向心力與位置離中心的距離的平方成反比，且那個力的絕對量已知；需求［曲］線，物體從給定的位置，以給定的速度，沿給定的直線離去時畫出它。
此即所作。
系理1 因此在每一條給定主頂點D，通徑L，及焦點S的圓錐截線中，當DH比DS取得如同通徑比通徑和4DS之間的差時，另一個焦點H也被給定。因為在這一系理的情形，SP+PH比PH之比如同2SP+2KP比L成為DS+DH比DH如同4DS比L，且由分比，DS比DH如同4DS－L比L。
系理2 因此，如果給定一個物體在主頂點D的速度，軌道可便捷地被發現，即是，按照這個給定的速度比一個物體在距離為DS的圓形軌道上運行的速度（由命題XVI系理3）的二次比，取其通徑比二倍的距離DS，然后取DH比DS如同通徑比通徑和4DS之間的差。
系理3 因此，如果一個物體在任意的圓錐截線上運動，并被無論什么樣的沖擊逐出它自己的軌道；能知道一條軌道，此后它在其上繼續自己的路程。因為由物體自身的運動和那個運動的復合，那個運動由沖擊單獨生成，就有了物體從所給定的受沖擊的位置沿位置給定的直線離去的運動。
系理4 并且，如果那個物體受到外部某個壓迫力的持續擾動，通過收集一些點在引入那個力時的變化，由序列的一致性估計［物體］在中間位置的連續變化，可相當接近地知道其路徑。
如果物體P由于趨向任意給定的點R的向心力在任意給定的圓錐截線的周線上運動，圓錐截線的中心為C，需求向心力的定律；引CG平行于半徑RP，并與軌道的切線PG交于G；則那個力（由命題X的系理1和解釋，以及命題VII的系理3）如同（CGcub.）/（RPquad.）。
如果由橢圓或雙曲線的兩個焦點S，H，兩直線SV，HV向任意第三個點V傾斜，它們中的一條直線HV等于圖形的主軸，亦即焦點所位于的軸；另一條［直線］SV被垂直落在它上面的TR平分于T；那條垂線TR與圓錐截線在某處相切；并且反之亦然，如果相切，則HV等于圖形的主軸。第IV部分 論由給定的焦點，求橢圓形、拋物線形和雙曲線形軌道
引理 XV
此即所證。