命題XII 問題VII

一個物體在一支雙曲線上運動；需求趨向圖形的一個焦點的向心力的定律。

令CA，CB為雙曲線的半軸；PG，KD為另外的共軛直徑，PF垂直于直徑KD；Qv為附屬于直徑GP的縱標線。引SP截直徑DK于E，又截縱標線Qv于x，并補足平行四邊形QRPx。顯然EP等于橫截半軸AC，如此是因為，由雙曲線另一焦點H作平行于EC自身的線HI，因為CS，CH相等，ES，EI也相等；至此EP是PS，PI，亦即（因IH，PR平行且角IRP，HPZ相等）PS，PH的差的一半，因為差等于整個軸2AC。向SP落下垂線QT。且稱L為雙曲線的主通徑（或 （14）（rectangulum）GvP比Qv_quad.如同PC_quad.比CDquad.；又（由引理VII系理2）Qv_quad.比Qx_quad.當點Q和P重合時，成為等量之比；則Qx_quad.或Qv_quad.比QT_q如同EP_q比PF_q，亦即，如同CA_q比PF_q，或（由引理XII）如同CD_q比CB_q：聯合所有這些比，L×QR比QT_q如同AC×L×PC_q×CD_q，或2CB_q×PC_q×CD_q比PC×Gv×CD_q×CB_q，或如同2PC比Gv。但當點P和Q重合時，2PC和Gv相等。所以與此成比例的L×QR和QT_q相等。這些等量乘以（SP_q）/（QR），則L×SP_q等于（SP_q×QT_q）/（QR）。所以（由命題VI系理1和系理5）向心力與L×SP_q成反比，亦即，按照距離SP的二次反比。此即所求。

另解

所求的力，它趨向雙曲線中心。這已得出，它與距離SP成比例。由此（由命題VII系理3）趨向焦點S的向心力如同（PE_cub.）/（SP_q），因PE給定，即與SP_q成反比。此即所求。

按同樣的方式可以證明，當這一向心力變為離心力，物體將沿相對的雙曲線［分支］運動。