命題X 問題V
使一個(gè)物體在一橢圓上運(yùn)行：需求趨向橢圓的中心的向心力的定律。
令CA，CB為橢圓的半軸；GP，DK為另外的共軛直徑；PF，QT垂直于直徑；Qv為附屬于直徑Gp的縱標(biāo)線，且如果補(bǔ)足平行四邊形QvPR，則（由《圓錐截線》）矩形PvG比Qvquad.如同PCquad.比CDquad.，又（由于相似三角形QvT，PCF）Qvquad.比QTquad.如同PCquad.比PFquad.。這些比相結(jié)合，矩形PvG比QTquad.如同PCquad.比CDquad.，及PCquad.比PFquad.，亦即vG比（QTquad.）/（Pv）如同PCquad.比（CDq×PFq）/（PCq）。把Pv寫成QR，且（由引理XII）CD×PF寫成BC×CA，以及（當(dāng)點(diǎn)P和Q重合時(shí)）把vG寫作2PC，又未項(xiàng)和中項(xiàng)彼此相乘，（QTqund×PCq）/（QR）等于（2BCq×CQq）/（PC）。所以（由命題VI系理5）向心力與（2BCq×CAq）/（PC）成反比；亦即（由于2BCq×CAq給定）與1/（PC）成反比；這就是，與距離PC成正比。此即所求。
在直線PG上點(diǎn)T的另一側(cè)按照Tu等于Tv取點(diǎn)u；然后取uV，它比vG如同DCquad.比PCquad.。又因?yàn)橛伞?span id="bfjxvnh7n" class="HT5F">圓錐截線
另解
系理1 所以，力如同物體離橢圓的中心的距離；且反之，如果力如同距離，物體在其中心在力的中心的一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)，或者也許在圓上，橢圓能變化為圓。
系理2 且在圍繞同一中心的所有橢圓上所做的運(yùn)行的循環(huán)時(shí)間相等。因?yàn)槟切r(shí)間在相似的橢圓上相等（由命題IV系理3和系理8），但是在具有公共長軸的橢圓上，它們的相互之比如同整個(gè)橢圓面積的正比和同時(shí)畫出的小部分面積的反比；亦即，與短軸成正比，且與物體在主頂點(diǎn)（vertex principalis）的速度成反比；這就是，與那些短軸成正比，且與公共軸的同一點(diǎn)所屬的縱標(biāo)線成反比；且所以（由于正比和反比的相等性）按照等量之比。
如果橢圓的中心跑至無窮遠(yuǎn)，橢圓變?yōu)閽佄锞€，物體在此拋物線上運(yùn)行；現(xiàn)在趨向在無窮遠(yuǎn)距離的中心的力最終相等。這是伽利略的定理。且如果圓錐的拋物線形截面（通過改變圓錐截面的傾斜）變?yōu)殡p曲線，在這個(gè)［截面］邊緣運(yùn)動(dòng)的物體的向心力變?yōu)殡x心力。且正如在圓或橢圓中，如果力趨向的圖形的中心位于橫標(biāo)線上，按照任意給定的比增加或減小縱橫線，或者改變縱標(biāo)線對(duì)橫標(biāo)線的傾斜角，這些力總按照到中心的距離的比增大或減小，只要循環(huán)時(shí)間保持相等；因此在一般的圖形中，如果縱標(biāo)線按任意給定的比增大或減小，或者縱標(biāo)線的傾角任意變化，保持循環(huán)時(shí)間［不變］，趨向位于任意橫標(biāo)線上的中心的力，對(duì)每一條縱標(biāo)線，按照離中心的距離之比增大或減小。
第III部分 論物體在偏心的圓錐截線上的運(yùn)動(dòng)
命題XI 問題VI
一個(gè)物體在一橢圓上運(yùn)行；需求趨向橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的向心力的定律。
令S為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。引SP截橢圓的直徑DK于E，又截縱標(biāo)線Qv于x，再補(bǔ)足平行四邊形QxPR。顯然EP等于半長軸AC，如此是因?yàn)椋蓹E圓的另一焦點(diǎn)H作平行于EC自身的線HI，因CS，CH相等，ES，EI也相等，至此EP是PS，PI，亦即（因HI與PR平行，且角IPR與HPZ相等）PS，PH的和之半，它們連結(jié)起來等于整個(gè)軸2AC。向SP上落下垂線QT，稱L為橢圓的主通徑（latus rectum principale）（或 此即所求。
由于趨向橢圓的中心的力，由它物體P能在那個(gè)橢圓上運(yùn)行，如同（由命題X系理1）物體離橢圓的中心C的距離CP；引CE平行于橢圓的切線PR；且力，由它同一物體能環(huán)繞橢圓的另外任意點(diǎn)S運(yùn)行，如果CE和PS交于E，如同（PEcub.）/（SPq）（由命題VII 系理3），這就是，如果點(diǎn)S為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且因此PE被給定，與PSq成反比。此即所求。 這里可以一樣簡短地如問題五那樣推至拋物線和雙曲線。實(shí)在因?yàn)閱栴}的重要性及在其后它們的應(yīng)用，由證明證實(shí)另外的情形，當(dāng)不會(huì)令人生厭。
另解