引理 IX
如果直線AE和曲線ABC的位置給定，它們相互截于一給定的角A，且以另一給定角向那條直線引作為縱標線的BD，CE，它們交曲線于B，C，然后點B和C同時向點A靠近：我說三角形ABD，ACE的面積最終彼此按照邊的二次比。
確實當點B，C靠近點A時，總認為AD延長到在遠處的點d和e，使得Ad，Ae與AD，AE成比例，并豎立與縱標線DB，EC平行的縱標線db，ec交延長的AB，AC于b和c。引認為與ABC相似的曲線Abc，并引直線Ag，它與兩曲線在A相切，并截縱標線DB，EC，db，ec于F，G，f，g。一方面保持Ae的長度，另外點B，C與點A會合，且角cAg消失，曲線形Abd，Ace與直線形Afd，Age的面積重合；因此（由引理V）將按照邊Ad，Ae的二次比。但是面積ABD，ACE總與這些面積成比例，且邊AD，AE總與這些邊成比例。所以面積ABD，ACE最終按照邊AD，AE的二次比。此即所證。